Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处

1.直接写出点E、F的坐标；

2.设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

 

3.在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 

1.；

2.在中，，．

设点的坐标为，其中，∵顶点，∴设抛物线解析式为．

①  如图①，

当时，，．

解得（舍去）；．．

．解得．

抛物线的解析式为 …………………………………………………2分

②如图②，

当时，，

．

解得（舍去）．…………………………………………………………………………………………2分

③当时，，这种情况不存在．…………………………………1分

综上所述，符合条件的抛物线解析式是

3.存在点，使得四边形的周长最小．

如图③，

作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．……………………………………1分

，．

．

．

又， ，此时四边形的周长最小值是．……………………………………………………………………………………2分

解析:略