Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是______．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______

Answer 1

【答案】分析：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CMP、△CNB≌△CNP，所以∠A+∠B=∠FPC+∠EPC=90°，首先可得到△PMN是直角三角形，故PM、AM、BN的数量关系符合勾股定理，即AM²+BN²=MN²；而AM=BN，所以可得到PM=PN，即△PMN是等腰直角三角形，因此PM=PN=MN．
（2）参照（1）的思路，可将△ACM沿CM折叠，得△DCM，然后连接DN，证△DCN≌△BCN，后面的解法同（1）．
（3）解法同（2）．
解答：解：（1）根据折叠的性质知：
△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；
∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN；
∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN，
故△PMN是等腰直角三角形，AM²+BN²=MN²（或AM=BN=MN）．

（2）AM²+BN²=MN²；
将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，同理可知∠DCN=∠BCN，
△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°
∴∠MDN=90°，
∴DM²+DN²=MN²，
故AM²+BN²=MN²．

（3）AM²+BN²=MN²；解法同（2）．
点评：此题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理的应用，难度适中．