Question

如图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线．
（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求证：BQ+AQ=AB+BP；
（2）若∠ACB=α时，其他条件不变，直接写出∠BAC=

180°-3α

时，仍有BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBQ=40°，根据等角对等边的性质可得BQ=CQ，然后过点P作PD∥BQ，求出PD=CD，再利用“角角边”证明△ABP与△ADP全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AD，BP=PD，从而得证；
（2）根据（1）的证明，只要是满足∠ABC=2∠ACB即可是原有结论仍然成立．

解答：（1）证明：∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°-40°=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=

1

2

∠ABC=

1

2

×80°=40°，
∴∠CBQ=∠ACB，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
过点P作PD∥BQ交CQ于点D，
则∠CPD=∠CBQ=40°，
∴∠CPD=∠ACB=40°，
∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
∵∠ABC=80°，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵在△ABP与△ADP中，

∠ABC=∠ADP ∠BAP=∠CAP AP=AP

，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；

（2）解：根据（1）的证明可知，只要满足∠ABC=2∠ACB即可使原结论仍然成立，
∵∠ACB=α，
∴∠ABC=2α，
∴∠BAC=180°-3α．
故答案为：180°-3α．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等角对等边的性质，根据角度计算出∠ABC=2∠ACB从而求出相等的角是解题的关键．