Question

2．已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点O是线段AC的中点，OD=BO，E、F在直线AC上，且AE=CF．
（1）如图，求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=4，AC=6，求当AE的长为多少时，四边形BFDE是矩形．

Answer 1

分析 （1）由点O是线段AC的中点，得到AO=CO，根据线段的和差得到OE=OF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，根据矩形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵点O是线段AC的中点，
∴AO=CO，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∵OD=BO，
∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：在Rt△ABC中，
∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴OA=OC=3，
∴OB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵OD=BO=5，
∴当四边形BFDE是矩形时，∠BED=90°，
∴EO=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴AE=EO-OA=2．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．