Question

某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？

Answer 1

分析：（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a+b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a+b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；
（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m-1）遍、走过楼梯（n-1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y=2x代入，可得6n+m=16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m-n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．

解答：解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．
由题意得：

24 2a = x 2a+b ① 16 a = x a+b ②

，
①÷②得：

3

4

=

a+b

2a+b

，
整理得：b=2a，
代入②得x=48．
答：扶梯露在外面的部分有48级；
（2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m-1）遍，走楼梯（n-1）遍．
由题意得：

48m

4a

+

48n

2a

=

48(m-1)

3a

+

48(n-1)

a

，
整理得：m+6n=16，
这里m，n中必有一个是整数，且0≤m-n≤1．
①若m为整数，则n=

16-m

6

，∴

m=1 n= 5 2

（不合，舍去），

m=2 n= 7 3

（不合，舍去）

m=3 n= 13 6

（符合条件）

m=4 n=2

（不合，舍去）

m=5 n= 11 6

（不合，以后均不合，舍去）
②若n为整数，m=16-6n，∴

n=1 m=10

，

n=2 m=4

，

n=3 m=-2

…，这些均不符合要求，∴

m=3 n= 13 6

，此时，甲在楼梯上．
他已走动的级数是(

48m

4a

+

48n

2a

)×2a=24m+48n=72+104=176（级）．

点评：本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．