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【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:DE=AD+BE;

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)DE=BE-AD.

【解析】试题分析:(1)由已知推出∠ADC=BEC=90°,因为∠ACD+BCE=90°,BCE+CBE=90°,推出∠ACD=CBE,根据AAS可得RtADCRtCEB得到AD=CECD=BE,即可求出答案;

(2)与(1)证法类似可证出∠ACD=CBE,能推出ADC≌△CEB,得到AD=CECD=BE根据线段的和差即可得到答案

(3)同前两问可得ACD≌△CBE得到AD=CECD=BE根据线段的和差即可得出结论.

试题解析:

证明:(1)∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+BCE=90°,

ADMNDBEMNE

∴∠ADC=CEB=90°,

BCE+CBE=90°,

∴∠ACD=CBE

ADCCEB中,

ADC=CEBACD=CBEAC=CB

RtADCRtCEB (AAS),

AD=CEDC=BE

DE=DC+CE=BE+AD

(2)∵∠ACB=CEB=90°,

∴∠ACD+ECB=CBE+ECB=90°,

∴∠ACD=CBE

ADCCEB中,

ADC=CEB=90°,ACD=CBEAC=CB

∴△ADC≌△CEB (AAS),

AD=CEDC=BE

DE=CE-CD=AD-BE

(3)DE=BE-AD.

理由:同(1)(2)证法可得△ADC≌△CEB

AD=CEDC=BE

DE=CD-CE=BE-AD

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