Question

【题目】以点为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接、．

（1）试判断、的数量关系，并说明理由；

（2）延长交于点试求的度数；

（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）90°；（3）成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；

（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；

（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°．

（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，

∵在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；

（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，

而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，

又∵∠CDF=∠BDA，

∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；

（3）BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：

∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，

∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，

∴∠BFC=∠DAB=90°．