Question

如图，直角梯形纸片ABCD，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=2cm，tan∠D=

1

2

．E为AD边上一动点．（E不与D重合，但可与A重合）过点E作EF⊥CD于点F，将纸片沿着EF折叠，使点D落在直线CD上的D′处．设DF=x（cm），△EFD′与直角梯形ABCD重叠部分面积为S（cm²）．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）在折叠过程中，是否存在x的值，使得△AED′是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）记线段AD所在的直线为l，平移直线l，交BC所在的直线于点G，交CD所在的直线于点H，在直线AB上存在点I，使得△GHI为等腰直角三角形，请直接写出满足题意的线段IB的所有可能长度．

Answer 1

分析：（1）根据题意可以得出四边形ABCG为正方形，在根据比例求出CD的长度，根据x的取值范围分两种情况讨论，求出重叠部分面积．
（2）根据直角三角形勾股定理判断，并分∠AD′E和∠EAD′分别为直角时，两种情况计算求解出x的值．
（3）根据平移性质可得∠GHC=∠D，分∠IHG、∠IGH各为直角两种情况讨论，计算IB的长度即可．

解答：解：如图①，过A作AG⊥CD于G，∴∠AGC=90°
∵AB∥CD，∠B=90
∴∠C=90°
∴四边形ABCG为矩形
∵AB=BC=2cm
∴四边形ABCG为正方形
∴AG=CG=AB=2cm
∵tan∠D=

1

2

∴

AG

DG

=

1

2

，

EF

DF

=

1

2

∴

2

DG

=

1

2

∴DG=4，则CD=DG+CG=4+2=6cm
（1）当D’与C重合时，DF=

1

2

CD=3

①如图①，当0＜x≤3时，△EFD′与直角梯形ABCD重叠部分为Rt△EFD′，
由题知：D′F=DF=x
∴S=

1

2

EF•D′F=

1

2

×

1

2

x•x=

1

4

x2
②如图②，当3＜x≤4时，△EFD′与直角梯形ABCD重叠部分为直角梯形EFCP
此时，D′F=DF=x，EF=

1

2

DF=

1

2

x，
则CD′=DD′-DC=2x-6，FC=D′F-CD′=x-（2x-6）=6-x
由题意可得：tan∠D′=tan∠D=

1

2

∴

PC

CD′

=

1

2

∴PC=

1

2

CD′=x-6
S=

1

2

(EF+PC)•FC
=

1

2

(

1

2

x+x-6)•(6-x)
=-

3

4

x2+6x+9
综上，△EFD′与直角梯形ABCD重叠部分面积为S与x的函数关系式为：
S=

1 4 x2  (0＜x＜3) - 3 4 x2+6x+9  (3＜x≤4)

（2）答：存在，理由如下：
∵tan∠D=

1

2

∴∠D=∠D′EA≠45° 则∠AED≠90°
①当∠AD′E=90°时，ED′²+AD²=AE²
∵ED′=DE=

DF2+EF2

=

x2+( x 2 )2

=

5

2

x
∴AE=AD-DE=2

5

-

5

2

x
又∵AD²=（4-2x）²+2²
∴(

5

2

x)2+(4-2x)2=(2

5

-

5

2

x)2
解得x1=

3

2

，x₂=0（舍去）
②当∠EAD′=90°时，AE²+AD′²=ED′²
∵AD²=（2x-4）²+2²
∴（2x-4）²+22+(2

5

-

5

2

x)2=(

5

x

)2
解得x1=

5

2

，x₂=4（舍去）
（综上所述，当x=

3

2

或x=

5

2

时，△AED′是直角三角形．
（3）①当∠IGH=90°时，如图③所示：

设CG=x，BG=2-x
∵AD∥GH
∴∠GHC=∠D
∴tan∠GHC=tan∠D=

1

2

∴CH=2x
∴GH=

(2x)2+x2

=

5

x
∵△GHI为等腰直角三角形
∴IG=GH=

5

x
∵∠CHG+∠CGH=90°，∠CGH+∠BGI=90°
∴∠CHG=∠BGI
∵∠C=∠B=90°
∴△CHG≌△BGI
∴IB=CG=x
∵GI²=BI²+BG²
∴5x²=x²+（2-x）²
解得x=

2

3

或-2
∴IB=2或

2

3

②当∠IHG=90°时，如图④所示：
∵∠BGI=180°-∠IGH-∠CGH
∴cos∠BGI=-cos（∠IGH+∠CGH）
设CG=x，BG=2-x
∵△GHI为等腰直角三角形
∴∠IGH=45°
∵AD∥GH
∴∠GHC=∠D
∴tan∠GFC=

1

2

∴CH=2x
∴GH=

(2x)2+x2

=

5

x
IG=

2

GH=

10

x
∴cos∠CGH=

1

5

，sin∠CGH=

2

5

∴cos∠BGI=-cos（∠IGH+∠CGH）
=-cos45°•cos∠CGH+sin45°•sin∠CGH
=-

2

2

×

1

5

+

2

2

×

2

5

=

1

10

∵cos∠BGI=

BG

IG

=

2-x

10 x

∴

2-x

10 x

=

1

10

解得x=1
∴IG=10，BG=1
∴IB=

IG2-BG2

=

10-1

=3
∴IB=2或3或

2

3

．

点评：此题主要考查了直角三角形的判定与性质和正方形的判定及三角形面积求法等知识，利用重叠性质得出对应边之间的关系是解题关键．