Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在(0，2)和(0，3)之间(包括这两点),下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤ a ≤－；④4ac－b2＞8a；（5）3a+c=0，其中正确的结论有（ ）个

A. 2B. 3C. 4D. 5

Answer 1

【答案】B

【解析】

①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），从而可知当x>3时，y<0；

②由抛物线开口向下可知a<0，然后根据x=-=1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a<0；

③设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，则y=ax2-2ax-3a，令x=0得：y=-3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤-3a≤3；

④由4ac-b2>8a得c-2<0与题意不符；

⑤将(-1,0)代入物线的解析式得到a-b+c=0，由x=-=1，可知b=-2a，将b=-2a代入a-b+c=0便得到3a+c=0.

解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为(3,0)，当x>3时，y<0，故①正确；

②抛物线开口向下，故a<0，

∵x==1，

∴2a+b=0，

∴3a+b=0+a=a<0，故②错误；

③设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x3),则y=ax22ax3a，

令x=0得：y=3a.

∵抛物线与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间，

∴23a3.

解得：1a，故③正确；

④∵抛物线y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间，

∴2c3，

由4acb2>8a得：4ac8a>b2，

∵a<0，

∴c2<，

∴c2<0

∴c<2，与2c3矛盾，故④错误；

⑤将(-1,0)代入物线的解析式得到a-b+c=0，

∵x=-=1，

∴b=-2a，

∴a-(-2a)+c=3a+c=0，故⑤正确.

故选B.