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如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作∠APE=∠B,交DC于E.
(1)求证:△ABP∽△PCE;
(2)求等腰梯形的腰AB的长;
(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)欲证△ABP∽△PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C,根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP;由此得证;
(2)可过作AF⊥BC于F,由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半,在Rt△ABF中,根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值;
(3)在(2)中求得了AB的长,即可求出DE:EC=5:3时,DE、CE的值.设BP的长为x,进而可表示出PC的长,然后根据(1)的相似三角形,可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式,由此可得出关于x的分式方程,若方程有解,则x的值即为BP的长.若方程无解,则说明不存在符合条件的P点.
解答:(1)证明:由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP;
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE;

(2)解:过A作AF⊥BC于F;
∵等腰梯形ABCD中,AD=3cm,BC=7cm,
∴BF=
∵Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2;
∴AB=4cm;

(3)解:存在这样的点P.
理由是:∵
解之得EC=cm.
设BP=x,则PC=7-x
由△ABP∽△PCE可得
=
∵AB=4,PC=7-x,
=
解之得x1=1,x2=6,
经检验都符合题意,
即BP=1cm或BP=6cm.
点评:此题主要考查了等腰梯形的性质,以及相似三角形的判定和性质.
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3

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(1)求证:BD=DE;
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