Question

1．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则
①CD=10； 
②图中阴影部分面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 ①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG=∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA=30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 ①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，
∴△ABE∽△CDG，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{2}{5}$，
即$\frac{4}{CD}$=$\frac{2}{5}$，
解得CD=10；

②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，
∵AC=AB+BC=4+6=10，
∴AC=CG，
∴∠CAG=∠CGA，
又∵∠CAG+∠CGA=∠DCG=60°，
∴∠CGA=30°，
∴∠AGD=∠CGA+∠CGD=30°+60°=90°，
∴AG⊥GD，
∵∠BCF=∠D=60°，
∴CF∥DG，
∴△ACM∽△ADG，
∴MN⊥CF，
$\frac{CM}{DG}$=$\frac{AC}{AD}$，
即$\frac{CM}{10}$=$\frac{10}{20}$，
解得CM=5，
所以，MF=CF-CM=6-5=1，
∵∠F=60°，
∴MN=$\sqrt{3}$MF=$\sqrt{3}$，
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$MF•MN=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即阴影部分面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：10；$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．