Question

7．已知：⊙O的半径为5，点C在直径AB上，过点C作⊙O的弦DE⊥AB，过点D作直线 EB的垂线DF，垂足为点F，设AC=x，EF=y．
（1）如图，当AC=1时，求线段EB的长；
（2）当点F在线段EB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果EF=3BF，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，易证△EBC∽△ABE，所以BE²=BC•AB，把BC和AB的长度代入即可求出BE的长度；
（2）利用△EBC∽△ABE与△ACE∽△ECB，可求出BE与CE的长度，然后再证明△DEF∽△BEC，利用对应边的比相等即可得出y与x的函数解析式；
（3）若EF=3BF，需要分情况讨论，①当点F在线段EB上；②当点F在EB的延长线上．

解答 解：（1）连接AE，
由题意知：AB=10，
∴BC=AB-AC=9，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ECB=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴△EBC∽△ABE，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BC}{BE}$，
∴BE²=BC•AB，
∴BE=3$\sqrt{10}$；

（2）当点F在线段EB上时，由题意知：AC=x，
∴BC=10-x，
∵DE⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AE}$，
∴∠AEC=∠ABE，
∴△ACE∽△ECB，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{BC}{CE}$，
∴CE²=AC•BC，
∴CE=$\sqrt{x（10-x）}$，
由垂径定理可知：DE=2CE=2$\sqrt{x（10-x）}$，
由（1）可知：BE²=BC•AB，
∴BE=$\sqrt{10（10-x）}$，
∵DF⊥EB，
∴∠DFE=∠ECB=90°，
又∵∠DEB=∠DEB，
∴△DEF∽△BEC，
∴$\frac{EF}{CE}=\frac{DE}{EB}$，
∴$\frac{y}{\sqrt{x（10-x）}}=\frac{2\sqrt{x（10-x）}}{\sqrt{10（10-x）}}$，
∴y=$\frac{x\sqrt{100-10x}}{5}$（0＜x≤5）；

（3）如图 1，当点F在线段BE上时，
∵EF=3BF，
∴4EF=3BE，
由（2）可知，4y=3$\sqrt{10（10-x）}$，
∴x=$\frac{15}{4}$，
∴AC=$\frac{15}{4}$，

当点F在EB的延长线上时，
连接OE，
∴OC=x-5，BC=10-x，
∴由勾股定理可知：OE²-OC²=BE²-BC²，
∴BE=$\sqrt{100-10x}$，
∵EF=3BF，
∴$\frac{EB}{EF}=\frac{2}{3}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$y，
∴y=$\frac{3\sqrt{100-10x}}{2}$，
由垂径定理可知：DE=2CE，
∵∠DFE=∠ECB=90°，
∠DEB=∠DEB，
∴△EBC∽△EDF，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{CE}{EF}$，
∴$\frac{2}{3}$y²=2（-x²+10x），
化简得：4x²-70x+300=0，
∴解得：x=10（不符合题意，舍去）或x=$\frac{15}{2}$，
∴AC=$\frac{15}{2}$
综上所述，当EF=3BF，AC的长为$\frac{15}{4}$或$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理、垂径定理、函数关系式，相似三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，考查学生综合运用知识的能力．