Question

14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标是（3，0），与y轴交于点C，顶点D的坐标是（1，-4），对称轴与x轴交于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△AOC与△BCD是否相似？并证明你的结论；
（3）在对称轴右侧上找点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4，把点B（3，0）代入求出a即可．
（2）求出三角形的三边的长，根据对应边成比例两三角形相似即可判定．
（3）①如图1中，若点N在射线CD上，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．易证△MCN∽△DBE，得到MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．求出MG=FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，CG=FG-FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，代入抛物线y=（x-3）（x+1），求出a的值，即可知M的坐标；②如图2中，若点N在射线DC上，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．用类似的方法求出a的值，确定M的坐标；

解答 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1．-4），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4，
把点B（3，0）代入0=4a-4，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3．

（2）对于抛物线y=x²-2x-3令y=0，得x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），C（0，-3），D（1．-4），B（3，0），
∴OA=1，0C=3，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CD}{OA}$=$\frac{BD}{OC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∴△CDB∽△AOC．

（3）①如图1中，若点N在射线CD上，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∴CG=FG-FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴M（ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，-3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）．   
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
∴M（ $\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；
②如图2中，若点N在射线DC上，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$a，
∴MF=MN-NF=a，
∴MG=FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴CG=FG+FC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a，
∴M（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）．
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=5 $\sqrt{2}$，
∴M（5，12）；
综上可知，点M坐标为（ $\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）；

点评 本题考查了二次函数的应用、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．