Question

【题目】已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD＝CE，AD、BE相交于点M，

求证：（1）△AME∽△BAE；（2）BD2＝AD×DM．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得出AB＝BC、∠ABD＝∠C，结合BD＝CE即可证出△ABD≌△BCE（SAS），根据全等三角形的性质可得出∠CBE＝∠BAD，通过角的计算可得出∠EAM＝∠EBA，再结合∠AEM＝∠BEA即可证出△AME∽△BAE；

（2）根据相似三角形的性质可得出∠AME＝∠BAE＝60°，由对顶角相等可得出∠BMD＝60°，再结合∠ABD＝60°、∠BDM＝∠ADB，即可证出△ABD∽△BMD，根据相似三角形的性质可证出BD2＝AD×DM．

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°．

在△ABD和△BCE中，，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE＝∠BAD，

∴∠EAM＝∠EBA．

又∵∠AEM＝∠BEA，

∴△AME∽△BAE．

（2）∵△AME∽△BAE，

∴∠AME＝∠BAE＝60°，

∴∠BMD＝60°．

又∵∠ABD＝60°，∠BDM＝∠ADB，

∴△ABD∽△BMD，

∴BD2＝AD×DM．