已知:如图,抛物线 ()与轴交于点( 0 ,4) ,与轴交于点, ,点的坐标为( 4 ,0).
(1) 求该抛物线的解析式;
(2) 点是线段上的动点,过点作∥,交于点,连接. 当的面积最大时,求点的坐标;
(3)若平行于轴的动直线与该抛物线交于点,与直线交于点,点的坐标为(2 ,0). 问: 是否存在这样的直线 ,使得是等腰三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)
∵抛物线()与轴交于点( 0 ,4),与轴交于点( 4 ,0)
∴ 解得
∴该抛物线的解析式为
(2)
令,则 ,解得,,
∴ ∴ ,,
设,的面积用表示,
方法一
∵ ∥
∴ , 即
∴
过点作,垂足为
在Rt中,
在Rt中
∴
∴ 当时,的面积最大是3,即点的坐标为(1 ,0)
解法二
,
过点作,垂足为,则∥
∴
∵∥
∴
∴ 即
∴
∴
∴
∴ 当时,的面积最大是3,即点的坐标为(1 ,0)
(3)
① 当为底边时,点的横坐标是1,又点在直线上,直线的解析式为,所以,点的坐标是(1,3),所以点的纵坐标为3,,代入,得点的坐标为(,3)或(,3)
②当为腰,为顶角时,此时点是以点为圆心,为半径的圆与直线的交点,有两个点,点(4,0)与点重合,舍去,点(2,2),所以点的纵坐标为2,,代入,得点的坐标为(,2)或(,2)
③当为腰,为顶角时,此时点应是以点为圆心,为半径的圆与直线的交点,但是点到的距离为,所以不存在满足条件的点.
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