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如图1,在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O′C′,与OA相交于G,如图2,求经过G,O,B三点的抛物线的解析式;

(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.


解:(1)∵AB=OB,∠ABO=90°,

∴△ABO是等腰直角三角形,

∴∠AOB=45°,

∵∠yOC=45°,

∴∠AOC=(90°﹣45°)+45°=90°,

∴AO⊥CO,

∵C′O′是CO平移得到,

∴AO⊥C′O′,

∴△OO′G是等腰直角三角形,

∵射线OC的速度是每秒2个单位长度,

∴OO′=2x,

∴y=×(2x)2=2x2

 

(2)当x=3秒时,OO′=2×3=6,

×6=3,

∴点G的坐标为(3,3),

设抛物线解析式为y=ax2+bx,

解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x;

 

(3)设点P到x轴的距离为h,

则SPOB=×8h=8,

解得h=2,

当点P在x轴上方时,﹣x2+x=2,

整理得,x2﹣8x+10=0,

解得x1=4﹣,x2=4+

此时,点P的坐标为(4﹣,2)或(4+,2);

当点P在x轴下方时,﹣x2+x=﹣2,

整理得,x2﹣8x﹣10=0,

解得x1=4﹣,x2=4+

此时,点P的坐标为(4﹣,﹣2)或(4+,﹣2),

综上所述,点P的坐标为(4﹣,2)或(4+,2)或(4﹣,﹣2)或(4+,﹣2)时,△POB的面积S=8.

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