Question

10．【探究】中秋节前某商场计划购进一批进价为每盒40元的食品进行销售，根据销售经验，应季销售时，若每盒食品的售价为60元，则可售出400盒，当每盒食品的售价每提高1元，销售量就相应减少10盒．
（1）假设每盒食品的售价提高x元，那么销售每盒食品所获得的利润是20+x元，销售量是400-10x盒．（用含x为代数式表示）
（2）设应季销售利润为y元，求y与x的函数关系式，并求出应季销售利润为8000元时每盒食品的售价．
【拓展】根据销售经验，过季处理时，若每盒食品的售价定为30元亏本销售，可售出50盒，若每盒食品的售价每降低1元，销售量就相应增加5盒．当单价降低z元时，解答：
（1）现剩余100盒食品需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金，若使亏损金额最小，此时每盒食品的售价应为20元；
（2）若过季需要处理的食品共m盒，过季处理时亏损金额为y₁元，求y₁与z的函数关系式；当100≤m≤300时，求过季销售亏损金额最小时多少元？

Answer 1

分析 探究：（1）每条围巾获得的利润=实际售价-进价，销售量=售价为60元时销售量-因价格上涨减少的销售量；
（2）根据：销售利润=单件利润×销售量可列函数解析式，并求y=8000时x的值；
拓展：（1）根据：亏损金额=总成本-每件围巾的售价×销售量，列出函数关系式，配方后可得最值情况；
（2）根据与（1）相同的相等关系列函数关系式配方可得最小值．

解答 解：【探究】（1）假设每盒食品的售价提高x元，那么销售每盒食品所获得的利润是（20+x）元，销售量是（400-10x）盒，
故答案为：20+x，400-10x；
（2）根据题意得：y=（20+x）（400-10x）=-10x²+200x+8000，
把y=8000代入，得：-10x²+200x+8000=8000，
解得：x=0或x=20，
当x=0时，60+x=60，
当x=20时，60+x=80，
答：应季销售利润为8000元时每盒食品的售价为60元或80元；

【拓展】
（1）设过季处理时亏损金额为y元，单价降低z元．
由题意得：y=40×100-（30-z）（50+5z）=5（z-10）²+2000； 
z=10时亏损金额最小为2000元，
此时售价为30-10=20（元/件），
故答案为：20；
（2）y₁=40m-（30-z）（50+5z）=5（z-10）²+40m-2000，
即当z=10时，y₁有最小值40m-2000，
∵100≤m≤300，
∴当m=100时，y₁有最小值40m-2000=2000，
答：过季销售亏损金额最小时2000元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，解决本题的关键是在不同情形下理清数量关系、紧扣相等关系列出函数解析式，根据解析式结合自变量取值范围求函数最值是根本技能．