Question

3．在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，联结ED，∠BAC的平分线交ED于点F，交BC于点G，求证：AF：AG=ED：BC．

Answer 1

分析 首先证明△△EAD∽△CAB，推出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，∠ADE=∠ABC，再证明△EAD∽△CAB，推出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，∠ADE=∠ABC，由△ADF∽△ABG，推出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AF}{AG}$，由此即可证明．

解答 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠BAD=∠EAC，
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，∵∠EAD=∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，∠ADE=∠ABC，
∵∠DAF=∠BAG，
∴△ADF∽△ABG，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AF}{AG}$，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AF}{AG}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．