Question

2．如图，点A的坐标为（3，$\sqrt{7}$），点B的坐标为（6，0），将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定的角度后得到△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（　　）

• A． （$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}\sqrt{7}$）
• B． （$\frac{21}{2}$，$\frac{3}{2}\sqrt{7}$）
• C． （$\frac{21}{2}$，$\frac{3}{2}\sqrt{5}$）
• D． （$\frac{25}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 作AC⊥OB、O′D⊥A′B，由点A、B坐标得出OC=3、AC=$\sqrt{7}$、BC=OC=3，从而知tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，由旋转性质知BO′=BO=6，tan∠A′BO′=tan∠ABO=$\frac{O′D}{BD}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，设O′D=$\sqrt{7}$x、BD=3x，由勾股定理求得x的值，即可知BD、O′D的长即可得．

解答 解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，

∵A（3，$\sqrt{7}$），
∴OC=3，AC=$\sqrt{7}$，
∵OB=6，
∴BC=OC=3，
则tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
由旋转可知，BO′=BO=6，∠A′BO′=∠ABO，
∴$\frac{O′D}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
设O′D=$\sqrt{7}$x，BD=3x，
由O′D²+BD²=O′B²可得（$\sqrt{7}$x）²+（3x）²=6²，
解得：x=$\frac{3}{2}$或x=-$\frac{3}{2}$（舍），
则BD=3x=$\frac{9}{2}$，O′D=$\sqrt{7}$x=$\frac{3}{2}$$\sqrt{7}$，
∴OD=OB+BD=6+$\frac{9}{2}$=$\frac{21}{2}$，
∴点O'的坐标为（$\frac{21}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{7}$），
故选：B．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了勾股定理、解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．