Question

10．已知AB是⊙O的弦，OA=3，sin∠OAB=$\frac{2}{3}$，则弦AB的长是2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作弦心距OD，根据三角函数设OD=2x，OA=3x，则3x=3，x=1，利用勾股定理求AD的长，所以由垂径定理得：AB=2AD，得结论．

解答 解：如图，过O作OD⊥AB于D，
在Rt△OAD中，sin∠OAB=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
设OD=2x，OA=3x，
则3x=3，
x=1，
∴OA=3，OD=2，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了垂径定理和解直角三角形，知道圆中常作的辅助线方法：①连接半径，②作弦心距；明确三角函数定义：sinA=$\frac{∠A的对边}{斜边}$=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{∠A的邻边}{斜边}$=$\frac{b}{c}$，tanA=$\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$=$\frac{a}{b}$（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）．