Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：
（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由。
（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE。

Answer 1

解：（1）AE=CG，
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，
∠3+∠5=90°，
∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
又AB=BC，BE=BG，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG；
（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEH，
∴ 
∴，
∴y=-x²+x =-（x-）²+
当x=时，y有最大值为； 
（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中点，
∴AE=，
∴DH=，
又∵△ABE∽△DEH，
∴，
又∵，
∴，
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE。