Question

已知关于x的一元二次方程x²+bx+c=x有两个实数根x₁，x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）试证明c＞0；
（2）证明b²＞2（b+2c）；
（3）对于二次函数y=x²+bx+c，若自变量取值为x₀，其对应的函数值为y₀，则当0＜x₀＜x₁时，试比较y₀与x₁的大小．

Answer 1

解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x²+（b-1）x+c=0，
∵x₁，x₂是该方程的两个实数根
∴x₁+x₂=-（b-1），x₁•x₂=c，
而x₁＞0，x₂＞x₁+1＞0，
∴c＞0；

（2）（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=（b-1）²-4c
=b²-2b-4c+1，
∵x₂-x₁＞1，∴（x₂-x₁）²＞1，
于是b²-2b-4c+1＞1，即b²-2b-4c＞0，
∴b²＞2（b+2c）；

（3）当0＜x₀＜x₁时，有y₀＞x₁，
∵y₀=x₀²+bx₀+c，x₁²+bx₁+c=x₁，
∴y₀-x₁=x₀²+bx₀+c-（x₁²+bx₁+c）=（x₀-x₁）（x₀+x₁+b），
∵0＜x₀＜x₁，
∴x₀-x₁＜0，
又∵x₂-x₁＞1
∴x₂＞x₁+1，x₁+x₂＞2x₁+1，
∵x₁+x₂=-（b-1）∴-（b-1）＞2x₁+1，
于是2x₁+b＜0
∵0＜x₀＜x₁
∴x₀+x₁+b＜0，
由于x₀-x₁＜0，x₀+x₁+b＜0，
∴（x₀-x₁）（x₀+x₁+b）＞0，即y₀-x₁＞0，
∴当0＜x₀＜x₁时，有y₀＞x₁．
分析：（1）利用根与系数的关系，来可以求出c和两根之和、两根之积的关系式，然后利用已知条件就可以证明题目结论；
（2）利用根与系数的关系得出x₁+x₂=-（b-1），x₁•x₂=c，把它们代入（x₂-x₁）²可得出b²-2b-4c+1，然后再利用（x₂-x₁）²＞1求出b²-2b-4c＞0即可证明；
（3）本题主要用作差法来比较y₀与x₁的大小，先把x₀，x₁分别代入方程得出关于y₀，与x₁的代数式，再用作差法比较大小．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．