Question

如图已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．设抛物线的顶点为D，求解下列问题：
（1）求抛物线的解析式和D点的坐标；
（2）过点D作DF∥y轴，交直线BC于点F，求线段DF的长，并求△BCD的面积；
（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据A，B的坐标，用交点式二次函数通式来设出抛物线的解析式，进而可得出D的坐标；
（2）将B点代入，求出F点的坐标（1，2），进而得出DF的长，以及△BCD的面积；
（3）本题要分三种情况进行讨论．
①当∠BDQ=90°时，此时DQ是圆G的切线，设DQ交y轴于M，那么可通过求直线DM的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．
②当∠DBQ=90°时，可过Q作x轴的垂线，设垂足为P，先设出Q点的坐标，然后根据相似三角形DHB和BPQ得出的关于DH，BP，BH，PQ的比例关系式，求出Q点的坐标．
③当∠BQD=90°时，显然此时Q，C重合，因此Q点的坐标即为C点的坐标．综上所述可得出符合条件的Q点的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，3）代入，
解得a=-1，
解析式为y=-x²+2x+3，
则点D的坐标为（1，4），

（2）设直线BC的解析式为y=kx+3，把B（3，0）代入，
解得k=-1，所以F（1，2），
∴DF=4-2=2，
△BCD的面积=

1

2

×2×1+

1

2

×2×2=3；

（3）①点C即在抛物线上，CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

．
∵CD²+BC²=20，BD²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
∴∠BCD=90°，
这时Q与C点重合点Q坐标为Q（0，3），
②如图②，若∠DBQ为90°，作QP⊥x轴于P，DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB∽Rt△BPQ，
有

DH

BP

=

HB

PQ

，
则点Q坐标（k，-k²+2k+3），
即

4

3-k

=

2

k2-2k-3

，
化简为2k²-3k-9=0，
即（k-3）（2k+3）=0，
解之为k=3或k=-

3

2

，
由k=-

3

2

得Q坐标：Q(-

3

2

，-

9

4

)，
③若∠BDQ为90°，
如图③，延长DQ交y轴于M，
作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H，
可证明△DEM∽△DHB，
即

DE

DH

=

EM

HB

，
则

1

4

=

EM

2

，
得EM=

1

2

，
∵点M的坐标为(0，

7

2

)，DM所在的直线方程为y=

1

2

x+

7

2

，
则y=

1

2

x+

7

2

与y=-x²+2x+3的解为x=

1

2

，
得交点坐标Q为(

1

2

，

15

4

)，
即满足题意的Q点有三个，（0，3），（-

3

2

，-

9

4

），（

1

2

，

15

4

）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和应用、函数图象交点等知识，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．