Question

14．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．
（1）设MN=x，用x表示PN的长度；
（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？

Answer 1

分析 （1）由四边形PNMQ为矩形，得到PN∥BC，证出△APN∽△ABC，列比例式回家解得结果．
（2）列出二次函数关系式，求函数的最大值；
（3）根据三角形的面积公式列方程即可求解．

解答 解：（1）∵四边形PNMQ为矩形，
∴PN∥BC
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AD-MN}{AD}$，即PN=$\frac{8-x}{8}×12=12-\frac{3}{2}x$．

（2）${S}_{PQMN}=MN•PN=x（12-\frac{3}{2}x）$
=12x-$\frac{3}{2}{x}^{2}$=$-\frac{3}{2}（{x}^{2}-8x）$=$-\frac{3}{2}（x-4）^{2}+24$，
∴当x=4时，矩形PNMQ的面积最大，最大为24．

（3）∵${S}_{△APN}=\frac{1}{2}×（12-\frac{3}{2}x）×（8-x）$，
S_△BPQ+S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$x•x
又S_△APN=S_△BPQ+S_△CMN，
∴（12-$\frac{3}{2}$x）×（8-x）=$\frac{3}{2}$x•x，解之得：x=4，
∴当MN长度为4时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，二次函数的最值，三角形的面积，根据面积公式列方程和函数解析式是解题的关键．