Question

1．已知，抛物线y=-x²-x+c与y轴交于点C（0，6）．
（1）求c；
（2）求该抛物线的顶点坐标，并画出该抛物线的大致图象；
（3）试探索：在该抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，以适当长为半径的⊙P与两坐标轴的正半轴都相切？如果存在，请求出点P的坐标和⊙P的半径；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点C（0，6）代入抛物线y=-x²-x+c，得到关于c的方程，解方程可求c；
（2）根据顶点坐标公式求顶点坐标，或把解析式配成顶点式确定顶点坐标，再画出该抛物线的大致图象；
（3）设抛物线上存在点P（m，-m²-m+6），根据切线的性质可得m=-m²-m+6且m＞0，解方程即可求解．

解答 解：（1）将C（0，6）代入y=-x²-x+c，得c=6；
（2）把c=6代入，得y=-x²-x+6=-（x²+x）+6=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
故该抛物线的顶点（$-\frac{1}{2}$，$\frac{25}{4}$），
大致图象如图1，

（3）设抛物线上存在点P（m，-m²-m+6），
如图2，

要使⊙P与两坐标轴的正半轴都相切必需：m=-m²-m+6且m＞0，
解得m₁=-1+$\sqrt{7}$，m₂=-1-$\sqrt{7}$（舍去），
即抛物线上存在点P（$-1+\sqrt{7}$，$-1+\sqrt{7}$），使得以点P为圆心，以$-1+\sqrt{7}$为半径的圆与两坐标轴的正半轴都相切．

点评 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：运用待定系数法求函数解析式，抛物线的顶点坐标的求法，切线的性质，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．