Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC长为

3

p，BB_l是∠ABC的平分线交AC于点B₁，过B₁作B₁B₂⊥AB于点B₂，过B₂作B₂B₃∥BC交AC于点B₃，过B₃作B₃B₄⊥AB于点B₄，过B₄作B₄B₅∥BC交AC于点B₅，过B₅作B₅B₆⊥AB于点B₆，…，无限重复以上操作．设b₀=BB_l，b₁=B₁B₂，b₂=B₂B₃，b₃=B₃B₄，b₄=B₄B₅，…，b_n=B_nB_n+1，…．
（1）求b₀，b₃的长；
（2）求bn的表达式．（用含p与n的式子表示，其中n是正整数）

Answer 1

分析：（1）能够根据30°的直角三角形中各边的关系进行计算：三边从小到大的比是1：

3

：2，根据这一比值进行计算；
（2）不难发现：当n是正整数时，下一条边的长度总是上一条边的长度的

3

2

倍．

解答：解：（1）b₀=2p，
在Rt△B₁B₂中，b₁=P，
同理：b₂=

3

P

2

，b₃=

3P

4

．

（2）同（1）得：b₄=（

3

2

）²p，
∴b_n=（

3

2

）^n-1p（n是正整数）．

点评：此题要非常熟悉30°的直角三角形三边之间的关系，同时正确理解题意充分发挥已知条件的作用也很重要．