Question

已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD=a，BC=b．
（1）当点A、D重合，即a=0时（如图1），试求EF．（用含m，n，b的代数式表示）
（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，
①如图2这种情况时，试求EF．（用含a，b，m，n的代数式表示）
②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得

AE

BE

=

m

n

，根据比例变形，即可求得EF的值；
（2）①连接BD，与EF交于点H，由（1）知，HF=

mb

m+n

，EH=

na

m+n

，又由EF=EH+HF，即可求得EF的值；
②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF=

mGC

m+n

与GC=BC-BG，即可求得EF的值．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AE

AB

，（1分）
∵

AE

BE

=

m

n

，
∴

AE

AB

=

m

m+n

，（1分）
又BC=b，
∴

EF

b

=

m

m+n

，
∴EF=

mb

m+n

；（1分）

（2）①解：如图2，连接BD，与EF交于点H，
由（1）知，HF=

mb

m+n

，EH=

na

m+n

，（2分）
∵EF=EH+HF，
∴EF=

mb+na

m+n

；（1分）

②猜想：EF=

mb-na

m+n

，（1分）
证明：连接DE，并延长DE交BC于G，
由已知得：BG=

na

m

，（1分
EF=

mGC

m+n

，（1分）
∵GC=BC-BG，
∴EF=

m

m+n

（BC-BG）=

m

m+n

(b-

na

m

)=

mb-na

m+n

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识．此题难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用，注意比例变形．