Question

如图，已知抛物线y=-

1

4

x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知A点的坐标为A（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；
（2）平移抛物线的对称轴所在直线l，它在第一象限与抛物线相交于点M，与直线BC相交于点N，当l移动到何处时，线段MN的长度最大？最大值是多少？
（3）在x轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线y=-

1

4

x2+bx+4经过点A（-2，0），由待定系数法即可得到抛物线的解析式，进一步得到它的对称轴；
（2）根据坐标轴上的点的坐标特征，可求B（8，0），C（0，4），再根据待定系数法得到直线BC的解析式，再根据两点间的距离公式得到MN=(-

1

4

x2+

3

2

x+4)-(-

1

2

x+4)=-

1

4

x2+2x=-

1

4

(x-4)2+4，再配方即可得到线段MN的长度取最大值时l移动的情况；
（3）分三种情况：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；进行讨论即可求解．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

1

4

x2+bx+4经过点A（-2，0），
∴-

1

4

×(-2)2-2b+4=4，
解得b=

3

2

．
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

x2+

3

2

x+4，
对称轴x=-

3 2

2×(- 1 4 )

=3；

（2）当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
当y=0时，-

1

4

x2+

3

2

x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=8，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=mx+n，它经过B（8，0），C（0，4）
则

n=4 8m+n=0

，
解得

m=- 1 2 n=4

，
∴直线BC为y=-

1

2

x+4，
∴MN=(-

1

4

x2+

3

2

x+4)-(-

1

2

x+4)=-

1

4

x2+2x=-

1

4

(x-4)2+4
∴当x=4时，MN的最大值为4
即当对称轴移至（4，0）时，MN的长度最大，最大值是4．   

（3）设在x轴上存在点Q（x，0），使△ACQ为等腰三角形．分三种情况：
①如果QA=QC，那么（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，
则点Q₁（3，0）；
②如果CA=CQ，那么2²+4²=x²+4²，
解得x₁=2，x₂=-2（不合题意舍去），
则点Q₂（2，0）；
③如果AC=AQ，那么2²+4²=（x+2）²，
解得x₁=2

5

-2，x₂=-2

5

-2，
则点Q₃（2

5

-2，0），Q₄（-2

5

-2，0）；
综上所述存在点Q，使△ACQ为等腰三角形．它的坐标为：Q₁（3，0），Q₂（2，0），Q₃（2

5

-2，0），Q₄（-2

5

-2，0）．

点评：此题考查了抛物线解析式的确定、直线解析式的确定、两点间的距离公式、函数最值的求法等重要知识点，（3）小题用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．