Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直径OA与双曲线y=$\frac{m}{x}$在第一象限内交于点A，过点A的直线y=kx+b与x轴正半轴交于点B，与双曲线的另一交点为C，连接OC．已知OA=OB=5，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$．
（1）求双曲线和直线AB的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）直接写出关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{k{x}^{2}+bx＜m}\end{array}\right.$的解集．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥OB于点D，利用解直角三角形以及勾股定理即可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB以及双曲线的解析式；
（2）联立直线AB与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标，再利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可得出结论；
（3）观察函数图象，由两函数图象的上下位置关系即可得出不等式组的解集．

解答 解：（1）过点A作AD⊥OB于点D，如图所示．
∵OA=OB=5，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，
∴AD=OA•sin∠AOB=3，OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=4，
∴点A的坐标为（4，3），点B的坐标为（5，0）．
∵点A在双曲线y=$\frac{m}{x}$上，
∴3=$\frac{m}{4}$，
解得：m=12．
将点A（4，3）、B（5，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=15}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-3x+15，双曲线的解析式为y=$\frac{12}{x}$．
（2）联立直线AB与双曲线的解析式成方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+15}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴点C的坐标为（1，12）．
∴S_△AOC=S_△OBC-S_△AOB=$\frac{1}{2}$×5×12-$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{45}{2}$．
（3）观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞4时，一次函数y=kx+b的值小于反比例函数y=$\frac{m}{x}$的值，
∴不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{k{x}^{2}+bx＜m}\end{array}\right.$的解集为0＜x＜1或x＞4．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形找出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出直线与双曲线的解析式是解题的关键．