Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，延长CA到E，使AD=CE=BC．若恰好有DE=BC，求∠BAC的大小．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：过点D作DF平行于BC，且DF=BC，连接FC，EF，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到BCFD为平行四边形，可得出对边BD=CF，且AD平行于FC，对角∠ADF=∠FCB，由BC与DF平行，得到同位角∠ABC=∠ADF，等量代换可得出∠ABC=∠FCB，同时由AD与CF平行，根据两直线平行同位角相等可得出∠EAD=∠ECF，又AD=CE，AB=AC，两等式左右两边相减可得出AE=BD，等量代换得出AE=CF，再由AD=CF，利用SAS得出三角形ADE与三角形CEF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出DE=EF，又DE=BC，而BC=DF，等量代换可得出DE=DF=EF，即三角形DEF为等边三角形，可得出内角为60°，设∠BAC=α，由AB=AC，利用内角和定理表示出底角∠ABC的度数，即为∠ADF的度数，再由AD=BC=DF=DE，根据等边对等角得到∠DAE=∠DEA，由邻补角定义表示出∠DAE，即表示出∠DEA，在三角形AED中，利用内角和定理表示出∠ADE，由∠ADE+∠ADF=60°列出关于α的方程，求出方程的解得到α的值，即为∠BAC的度数．

解答：
解：过点D作DF∥BC且BC=DF，连接CF，EF，
则四边形BCFD为平行四边形，
∴BD=CF，AD∥CF，∠ADF=∠FCB，
∴∠ABC=∠ADF=∠FCB，∠EAD=∠ECF，
又AD=CE，AB=AC，
∴AD-AB=CE-AC，即AE=BD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CEF中，

AE=CF ∠EAD=∠ AD=CE

FCE，
∴△ADE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，又DE=BC，且BC=DF，
∴DE=DF=EF，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠EDF=60°，
又AD=BC=DF=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
设∠BAC=α，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADF=∠ABC=

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（180°-α），∠DAE=180°-α，
∴∠ADE=180°-∠DAE-∠DEA=180°-2∠DAE=180°-2（180°-α）=2α-180°，
又∠ADE+∠ADF=60°，即

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2

（180°-α）+2α-180°=60°，
解得：α=100°，
则∠BAC=100°

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，利用了转化及等量代换的思想，是一道综合性较强的题．其中作出相应的辅助线构造平行四边形及全等三角形是解本题的关键．