Question

17．如图，直线y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点P从点A开始沿折线AB-BO以1cm/s的速度运动到点O．设点P运动的时间为t（s），△PAO面积为S（cm²）．（坐标轴的单位长度为cm）
（1）当点P在线段AB上运动到与点O距离最小时，求S的值；
（2）在整个运动过程中，求S与t之间的函数表达式；
（3）当点P运动几秒后，△PAO面积为2cm²？

Answer 1

分析 （1）连接OP，当OP⊥AB时，OP最小，利用等积法可求得OP的长，可求得S；
（2）当P点在线段AB上时，△PAO可以看成以AP为底，则高为O到线段AB的距离，可表示出S；当P在线段BO上时，△PAO可以看成以AO为底，则OP为高，可表示出S，可得到S与t的函数表达式；
（3）利用（2）中所求表达式，令S=2，可求得相应的t的值．

解答 解：（1）由题意可求得A（-2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
∴OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，由勾股定理可求得AB=4，
连接OP，如图1，则当OP⊥AB时，点P与点O的距离最小，

∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OP=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OP=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOP中，由勾股定理可求得AP=1，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$AP•OP=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）当P在线段AB上时，即0≤t≤4时，如图2，连接OP，过O作OC⊥AB于点C，

则△PAO可以看成以AP为底，高为OC，
∵AP=t，且由（1）可知OC=$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•OC=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t；
当P在线段BO上时，即4＜t≤4+2$\sqrt{3}$时，如图3，连接AP，

则PO=4+2$\sqrt{3}$-t，且AO=2，
∴S=$\frac{1}{2}$AO•OP=$\frac{1}{2}$×2×（4+2$\sqrt{3}$-t）=4+2$\sqrt{3}$-t；
综上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}t（0≤t≤4）}\\{4+2\sqrt{3}-t（4＜t≤4+2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；
（3）由（2）当0≤t≤4时，令S=2，即$\frac{\sqrt{3}}{2}t$=2，解得t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当4＜t≤4+2$\sqrt{3}$，令S=2，即4+2$\sqrt{3}$-t=2，解得t=2+2$\sqrt{3}$，
∴当P运动$\frac{4\sqrt{3}}{3}$秒或2+2$\sqrt{3}$秒时，△PAO面积为2cm²．

点评 本题主要考查一次函数综合，涉及勾股定理、三角形的面积、函数表达式和分类讨论等知识点．在（1）中确定出P点的位置是解题的关键，在（2）中分P在线段AB和线段OB上两种情况是解题的关键．本题所考查知识点比较基础，题目难度不大．