Question

3．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（-$\sqrt{3}$，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x²-2x-3=0的两个根
（Ⅰ）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（Ⅱ）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出方程x²-2x-3=0的两个根得到OB，OC，由tan∠ABO=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，推出∠ABO=30°，∠ACO=60°，即可解决问题；
（2）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA=$\sqrt{3}$，求出点D坐标；
（3）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）结论：AC⊥AB．理由如下：
∵由x²-2x-3=0得：
∴x₁=3，x₂=-1
∴B（0，3），C（0，-1），
∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，3），C（0，-1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，OC=1，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=30°，∠ACO=60°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（2）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．
∴∠DEA=∠AOC=90°，
∵tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∵∠DCB=60°
∵DB=DC，
∴△DBC是等边三角形，
∵BA⊥DC，
∴DA=AC，
∵∠DAE=∠OAC，
在△ADE和△ACO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠AOC=90°}\\{∠DAE=∠CAO}\\{DA=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ACO，
∴DE=OC=1，AE=OA=$\sqrt{3}$
∴OE=2$\sqrt{3}$，
∴D的坐标为（-2$\sqrt{3}$，1）；

（3）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，
把B（0，3）和D（-2$\sqrt{3}$，1）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{1=-2\sqrt{3}m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
令y=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=-3$\sqrt{3}$，
∴E（-3$\sqrt{3}$，0），
∴OE=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BEC=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
当PA=AB时，如图2，
此时，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P与E重合，
∴P的坐标为（-3$\sqrt{3}$，0），
当PA=PB时，如图3，
此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴点P的横坐标为-$\sqrt{3}$，
令x=-$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴y=2，
∴P（-$\sqrt{3}$，2），
当PB=AB时，如图4，
∴由勾股定理可求得：AB=2$\sqrt{3}$，EB=6，
若点P在y轴左侧时，记此时点P为P₁，
过点P₁作P₁F⊥x轴于点F，
∴P₁B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴EP₁=6-2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BEO=$\frac{F{P}_{1}}{E{P}_{1}}$，
∴FP₁=3-$\sqrt{3}$，
令y=3-$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=-3，
∴P₁（-3，3-$\sqrt{3}$），
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P₂，
过点P₂作P₂G⊥x轴于点G，
∴P₂B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴EP₂=6+2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BEO=$\frac{G{P}_{2}}{E{P}_{2}}$，
∴GP₂=3+$\sqrt{3}$，
令y=3+$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=3，
∴P₂（3，3+$\sqrt{3}$），
综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（-3$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，2），（-3，3-$\sqrt{3}$），（3，3+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查锐角三角函数、一次函数、全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．