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(2009•朝阳区二模)在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD’E’(使∠BCE′<180°),连接AD′、BE′,设直线BE′与AC交于点O.

(1)如图1,当AC=BC时,AD′:BE′的值为______;
(2)如图2,当AC=5,BC=4时,求AD′:BE′的值;
(3)在(2)的条件下,若∠ACB=60°,且E为BC的中点,求△OAB面积的最小值.
【答案】分析:(1)AD′和BE′应该相等,可通过证△ACD′≌△BCE′来求解.这两个三角形中已知的条件有:∠ACD′和∠BCE′是一对等角的补角,因此这两角相等.然后证其他条件,由于AC=AB,DE∥AB,因此△CDE和△CD′E′都是等腰三角形,由此可得出AC=BC,CE′=CD′,由此满足了全等三角形的判定中SAS的条件,因此这两三角形全等,可得出AD′=BE′即它们的比为1;
(2)方法同(1)只不过线段相等换成了线段成比例,而三角形全等变成了三角形相似,根据相似三角形的对应线段成比例即可得出AD′、BE′的比例关系.
(3)如果过B作BM⊥AC于M,那么可根据∠ACB的度数和BC的长求出BM的值,由此可知:△OAB中,高BM是个定值,因此△OAB面积最小时,OA最小,那么此时OC最大.然后来求出此时OC的长,由题意可知,E′的运动轨迹是以C为圆心,CE′为半径的圆,而BE′总和圆C有交点,因此要想使OC最长,那么∠E′BC的度数就要最大,即此时BE′是圆C的切线,∠BE′C=90°,∠E′BC=30°(由于∠ACB=60°,因此∠E′BC的最大度数只能是30°),那么O与E′重合即可求出CE′和OC的长,而后可根据AC的长求出OA的长,根据三角形的面积公式即可求出此时△OAB的面积.
解答:解:(1)1

(2)解:∵DE∥AB,
∴△CDE∽△CAB.∴
由旋转图形的性质得,EC=E′C,DC=D′C,

∵∠ECD=∠E′CD′,
∴∠ECD+∠ACE′=∠E′CD′+∠ACE′即∠BCE′=∠ACD′.
∴△BCE′∽△ACD′.


(3)解:作BM⊥AC于点M,则BM=BC•sin60°=2
∵E为BC中点,
∴CE=BC=2.
△CDE旋转时,点E′在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动.
∵CO随着∠CBE′的增大而增大,
∴当BE′与⊙C相切时,即∠BE′C=90°时∠CBE′最大,
则CO最大.
∴此时∠CBE′=30°,CE′=BC=2=CE.
∴点E′在AC上,即点E′与点O重合.
∴CO=CE′=2.
又∵CO最大时,AO最小,且AO=AC-CO=3.
∴S△OAB最小=AO•BM=3
点评:本题考查了旋转的性质,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识点,(3)中结合圆的知识来确定OA的长是解题的关键.
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