Question

17．如图所示，?ABCD的顶点A、D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的图象上，顶点B、C分别在坐标轴上．
（1）求证：∠BAD=2∠OBC；
（2）若B（0，1），C（$\frac{\sqrt{5}}{5}$-1，0），AB=$\sqrt{5}$AD，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出△CDF≌△BAE，进而再判断出△DFC∽△BOC，即可得出结论；
（2）先求出OB，OC，再用△DFC∽△BOC得出的比例式求出DF，CF，OF即可得出点D坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）如图，延长AB交x轴于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AB∥CD，
∴∠OGB=∠BAE，∠DCF=∠OGB，
∴∠DCF=∠BAE，
过点A作AE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，延长DC交y轴于G，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴x₁y₁=x₂y₂=k在△CDF和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠AEB=90°}\\{∠DCF=∠BAE}\\{CD=AB}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BAE，
∴DF=BE=y₂，AE=CF=-x₁，
∵OE=y₁，OF=-x₂，
∴OB=y₁-y₂，OC=-x₂-（-x₁）=x₁-x₂，
∵OF•OC=y₂（x₁-x₂）=x₁y₂-x₂y₂，CF•OB=-x₁•（y₁-y₂）=x₁y₂-x₁y₁，
∴OF•OC=CF•OB，
∴$\frac{DF}{OB}=\frac{CF}{OC}$，
∵∠DFC=∠BOC=90°，
∴△DFC∽△BOC，
∴∠CDF=∠CBO，
∵DF∥y轴，
∴∠CDF=∠CGB=∠CBO，
∴∠BCD=∠CGB+∠CBO=2∠OBC，
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠BAD=2∠OBC；
（2）∵B（0，1），C（$\frac{\sqrt{5}}{5}$-1，0），
∴OB=1，OC=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵△DFC∽△BOC，AB=$\sqrt{5}$AD，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AB}{AD}=\frac{DF}{OB}=\frac{CF}{OC}$，
∴DF=$\sqrt{5}$，CF=$\sqrt{5}$-1，
∴OF=$\sqrt{5}$-1+1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴点D的坐标为（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$），
∴k=-4．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解（1）的关键是构造全等三角形和相似三角形，解（2）的关键是求出点D的坐标．