已知直线y=x+7与双曲线y=$\frac{k}{x}$的一个交点的坐标为(1.m)．(1)求m.k的值,(2)如图.正方形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上.顶点B在x轴的正半轴上.顶点C.P在y=$\frac{k}{x}$的图象上.试求A.B.C.D的坐标,的条件下.正方形ABCD的顶点F在y轴的正半轴上.顶点E在y=$\frac{k}{x}$的图象上..设点E的横坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

已知直线y=x+7与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一个交点的坐标为（1，m）．
（1）求m、k的值；
（2）如图，正方形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C，P在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，试求A、B、C、D的坐标；
（3）在（2）的条件下，正方形ABCD的顶点F在y轴的正半轴上，顶点E在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，（点F在点D的左上方），设点E的横坐标为n，试求n²+4n的值．

分析（1）把（1，m）代入y=x+7求得m的值，然后代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0），即可求得k的值；
（2）作CM⊥y轴于M，DN⊥x轴N，设D（a，$\frac{8}{a}$），则DN=a，ON=$\frac{8}{a}$，证得Rt△BMC≌Rt△AOB≌Rt△DNA，得出OA=DN=BM=a，OB=AN=CM=$\frac{8}{a}$-a，OM=ON=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$，得出C（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），根据反比例函数系数k的几何意义得出$\frac{8}{a}$•（$\frac{8}{a}$-a）=8，解得a=2，从而求得A、B、C、D的坐标；
（3）作EH⊥ND于H，EQ⊥y轴于Q，设点E的横坐标为n，则E（n，$\frac{8}{n}$），则EH=$\frac{8}{n}$-4，证得Rt△DEH≌Rt△FEQ，得出EQ=EH，从而得出n=$\frac{8}{n}$-4，从而求得n²+4n=8．

解答解：（1）∵直线y=x+7与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一个交点的坐标为（1，m），
∴m=1+7=8，
∴交点的坐标为（1，8），
∴k=1×8=8；
（2）作CM⊥y轴于M，DN⊥x轴N，如图1，
设D（a，$\frac{8}{a}$），则DN=a，ON=$\frac{8}{a}$，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=AD，
∵∠BMC=∠AOB=∠AND=90°，
∴∠MBC+∠OBA=90°，∠MCB+∠MBC=90°，
∴∠MCB=∠OBA，
同理可得：∠DAN=∠OBA，
∴Rt△BMC≌Rt△AOB≌Rt△DNA，
∴OA=DN=BM=a，
∴OB=AN=CM=$\frac{8}{a}$-a，
∴OM=ON=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$，
∴A（0，a），B（$\frac{8}{a}$-a，0），C（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），D（a，$\frac{8}{a}$），
∵点C在在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴$\frac{8}{a}$•（$\frac{8}{a}$-a）=8，
整理得，a²=4，解得a=2或a=-2（舍去），
∴A（0，2），B（2，0），C（4，2），D（2，4）；
（3）如图2，作EH⊥ND于H，EQ⊥y轴于Q，
设点E的横坐标为n，则E（n，$\frac{8}{n}$），
∵D（2，4），
∴EH=$\frac{8}{n}$-4，
∵四边形EFGD为正方形，
∴EF=ED，
∵∠EQF=∠EHD=90°，
∴∠DEH+∠FEH=90°，∠QEF+∠FEH=90°，
∴∠DEH=∠QEF，
∴Rt△DEH≌Rt△FEQ，
∴EQ=EH，
∴n=$\frac{8}{n}$-4，解得n²+4n=8．

点评本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，找出辅助线构建全等三角形是解题的关键．

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