Question

6．已知正方形ABCD中，AB=6，点E为AD的中点，连接BE，直线BE绕点E旋转45°，旋转后的直线与直线BD相交于点F，则线段DF的长为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据顺时针旋转、逆时针旋转两种情形讨论，利用△EFH和△BEA相似解决问题．

解答 解：情形1：设直线BE绕点E逆时针旋转45°后得到直线B′E（如图1），EH⊥BD于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，∠ADB=45°，
∵$AE=ED=\frac{1}{2}AD$=3，
在RT△EHD中，∵ED=3，∠EDH=45°，
∴EH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠AEF=∠EFD+∠ADB，∠BEB′=∠ADB=45°，
∴∠AEB=∠EFH，
∵∠A=∠EHF=90°，
∴△ABE∽△HEF，
∴$\frac{FH}{AE}=\frac{EH}{AB}$，
∴$\frac{FH}{3}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{6}$，
∴FH=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴DF=FH+DH=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
情形2：设直线BE绕点E逆时针旋转45°后得到直线B′E（如图：2），EH⊥BD于H，
∵∠BEB′=∠DEH=45°，∠AEB′=∠FED，
∴∠AEB=∠FEH，
∵∠A=∠EHF=90°，
∴△ABE∽△HFE，
∴$\frac{AE}{EH}=\frac{BA}{FH}$，
∴$\frac{3}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{6}{FH}$，
∴FH=3$\sqrt{2}$，
∴DF=FH-DH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．