Question

【题目】问题提出

（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝4，点D为AC上一点，连接BD，则BD的最小值为　 　；

问题探究

（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，求AD的最小值；

问题解决

（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD＝2km，AB＝3km，点M是BC上一点，MC＝4km．现计划在四边形ABCD内选取一点P，把△DCP建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP、MP，从实用和美观的角度，要求满足∠PMB＝∠ABP，且景观绿化区面积足够大，即△DCP区域面积尽可能小．则在四边形ABCD内是否存在这样的点P？若存在，请求出△DCP面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)2;(2);(3) 存在点P，使得△DCP的面积最小，△DCP面积的最小值是（﹣20）km2．

【解析】

（1）如图1，当BD⊥AC时，BD的值最小，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；

（2）如图2，根据BM＝DM可知：点D在以M为圆心，BM为半径的⊙M上，连接AM交⊙M于点D'，此时AD值最小，计算AM和半径D'M的长，可得AD的最小值；

（3）如图3，先确定点P的位置，再求△DCP的面积；假设在四边形ABCD中存在点P，以BM为边向下作等边△BMF，可知：A、F、M、P四点共圆，作△BMF的外接圆⊙O，圆外一点与圆心的连线的交点就是点P的位置，并构建直角三角形，计算CD和PQ的长，由三角形的面积公式可求得面积．

解：（1）当BD⊥AC时，如图1，

∵AB＝BC，

∴D是AC的中点，

∴BD＝AC＝×4＝2，即BD的最小值是2；

故答案为2；

（2）如图2，由题意得：DM＝MB，

∴点D在以M为圆心，BM为半径的⊙M上，连接AM交⊙M于点D'，此时AD值最小，

过A作AE⊥BC于E，

∵AB＝AC＝5，

∴BE＝EC＝BC＝ ，

由勾股定理得：AE＝4，

∵BM＝4，

∴EM＝4﹣3＝1，

∴AM＝ ，

∵D'M＝BM＝4，

∴AD'＝AM﹣D'M＝ ﹣4，

即线段AD长的最小值是﹣4；

（3）如图3，假设在四边形ABCD中存在点P，

∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，

∴∠ABC＝360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠DCB＝60°，

∵∠PMB＝∠ABP，

∴∠BPM＝180°﹣∠PBM﹣∠PMB＝180°﹣（∠PBM+∠ABP）＝180°﹣∠ABC＝120°，

以BM为边向下作等边△BMF，作△BMF的外接圆⊙O，

∵∠BFM+∠BPM＝60°+120°＝180°，则点P在 上，

过O作OQ⊥CD于Q，交⊙O于点P，

设点P'是上任意一点，连接OP'，过P'作P'H⊥CD于H，

可得OP'+P'H≥OQ＝OP+PQ，即P'H≥PQ，

∴P即为所求的位置，

延长CD，BA交于点E，

∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，∠ABC＝60°，

∴∠E＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，

∵AD＝2 ，

∴AE＝DE＝2，

∴BE＝AE+AB＝5，BC＝2BE＝10，CE＝5，

∴BM＝BC﹣MC＝6，CD＝5﹣2，

过O作OG⊥BM于G，

∵∠BOM＝2∠BFM＝120°，OB＝OM，

∴∠OBM＝30°，

∴∠ABO＝∠ABM+∠MBO＝90°，OB ＝2，

∴∠E＝∠ABO＝∠OQE＝90°，

∴四边形OBEQ是矩形，

∴OQ＝BE＝5，

∴PQ＝OQ﹣OP＝5﹣2，

∴S△DPC＝ ﹣20，

∴存在点P，使得△DCP的面积最小，△DCP面积的最小值是（﹣20）km2．