Question

如图，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
（1）求证：AB∥CQ；
（2）当CQ⊥AQ时，求证：AP⊥BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）先证明△ABP≌△ACQ，得出∠ACQ=∠B=60°，从而证出∠ACQ=∠BAC，得出AB∥CQ；
（2）根据CQ⊥AQ，∠AQC=90°，由AB∥CQ，证出∠PAB=30°，证出∠APB=90°即可．

解答：解：（1）∵△ABC和△APQ是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，AB=AC，AP=AQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC   ∠BAP=∠CAQ   AP=AQ

∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACQ=∠BAC，
∴AB∥CQ；
（2）∵CQ⊥AQ，
∴∠AQC=90°，
∵AB∥CQ，
∴∠BAQ+∠AQC=180°，
∴∠BAQ=90°，
∵∠PAQ=60°，
∴∠PAB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BPA=180°-（∠PAB+∠ABC）=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC．

点评：本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；由三角形全等得出相等的角证出平行线，再根据平行线证出角的度数；证明三角形全等是关键．