Question

如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2

3

，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2

3

，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′-AC=2

3

-2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．

解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，
∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2

3

，
∴AC=BC，
∴AF=

1

2

AB=

3

，
∴AC=

AF

cos∠CAB

=

3

3 2

=2，
由折叠的性质得：AB′=AB=2

3

，∠B′=∠B=30°，
∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，
∴∠CDB′=90°，
∵B′C=AB′-AC=2

3

-2，
∴CD=

1

2

B′C=

3

-1，B′D=B′C•cos∠B′=（2

3

-2）×

3

2

=3-

3

，
∴DE=

CD•B′D

B′C

=

( 3 -1)(3- 3 )

2 3 -2

=

3- 3

2

，
∴S_阴影=

1

2

AC•DE=

1

2

×2×

3- 3

2

=

3- 3

2

．
故答案为：

3- 3

2

．

点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．