Question

18．已知如图，边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上，边BC∥x轴，点D为边AB的中点，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）经过C、D两点，则k的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 作CE⊥x轴于E，由△ABC是等边三角形，得出∠ACB=∠ABC=60°，由BC∥x轴，得出∠EAC=60°，解直角三角形即可求得CE=$\sqrt{3}$，AE=1，设A（a，0），则C（a-1，$\sqrt{3}$），B（a+1，$\sqrt{3}$），根据A、B的坐标求得D的坐标，然后k=xy，得出k=（a-1）×$\sqrt{3}$=（a+$\frac{1}{2}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=$\frac{5}{2}$，从而求得C的坐标，进而求得k的值．

解答 解：作CE⊥x轴于E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵BC∥x轴，
∴∠EAC=60°，
∵AC=2，
∴CE=$\sqrt{3}$，AE=1，
设A（a，0），
∴C（a-1，$\sqrt{3}$），B（a+1，$\sqrt{3}$），
∴D（a+$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）经过C、D两点，
∴k=（a-1）×$\sqrt{3}$=（a+$\frac{1}{2}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=$\frac{5}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$），
∴k=$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，直角三角函数的应用等，对于反比例函数y=$\frac{k}{x}$，k=xy是解题的关键．