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如图1,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D,AD与BC相交于E点,已知:A(-2,-6),C(1,-3),一抛物线经过A,E,C三点.
(1)求点E的坐标及此抛物线的表达式;
(2)如图2,如果AB位置不变,将DC向右平移k(k>0)个单位,求△AEC的面积S关于k的函数表达式;
(3)在第(2)问中,是否存在k的值,使AD⊥BC?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
(1)由题意知B(-2,0)、D(1,0),
设直线AD的解析式为y=kx+b,
将A(-2,-6)、D(1,0)的坐标代入,
解得k=2,b=-2,
∴直线BC的解析式为y=-x-2;
同理求得直线AD的解析式为y=2x-2,
解方程组
y=2x-2
y=-x-2

得点E的坐标为(0,-2),
(用其它方法求得点E的坐标可参考得分)
设经过A,E,C三点的此抛物线表达式为y=ax2+bx+c,
4a-2b+c=-6
c=-2
a+b+c=-3

a=-1
b=0
c=-2

∴y=-x2-2.

(2)由题意得D(k+1,0),C(k+1,-3),BD=k+3,
∵AB、CD都垂直于x轴,
∴△ABE△DCE,
SABDC=
9
2
(k+3)

作EF⊥AB于F,EG⊥CD于G,则
EF=
2
3
(k+3)

EG=
1
3
(k+3)

∴SABE+SCDE=
5
2
(k+3)
S=
1
2
(SABDC-SABE-SCDE)
=k+3.

(3)由(2)知EF=
2
3
(k+3)

∵△ABE△DCE,
AE
ED
=
AB
DC
=
2
1

∵EFx轴,
AF
FB
=
2
1

∴AF=4,BF=2,
当AD⊥BC时,由EF⊥AB得△BEF△AFE,
∴EF2=BF•AF=8,
∴EF=2
2
(负根舍去)
2
3
(k+3)
=2
2
k=3
2
-3
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如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6),将△BCD沿BD折叠(D点在OC上),使C点落在OA边的E点上,并将△BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD边的F点上.
(1)求BC的长,并求折痕BD所在直线的函数解析式;
(2)过点F作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点,求抛物线解析式;
(3)点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B、D点),过点P作PN⊥BC,分别交BC和BD于点N、M,是否存在这样的点P,使S△BNM=S△BPM?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

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已知:m是非负数,抛物线y=x2-2(m+1)x-(m+3)的顶点Q在直线y=-2x-2上,且和x轴交于点A、B(点A在点B的左侧).
(1)求A、B、Q三点的坐标.
(2)如果点P的坐标为(1,1).求证:PA和直线y=-2x-2垂直.
(3)点M(x,1)在抛物线上,判断∠AMB和∠BAQ的大小关系,并说明理由.

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已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴相交于点E,点B(-1,0),P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)
(1)求点A、E的坐标;
(2)若y=-
6
3
7
x2+bx+c过点A、E,求抛物线的解析式;
(3)连接PB、PD,设L为△PBD的周长,当L取最小值时,求点P的坐标及L的最小值,并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.

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如图1,Rt△ABC中,斜边AB在x轴上,点C在y轴上,且OC=2,OA:OB=1:4,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=x+b与Rt△ABC相交,所截得的三角形面积是原Rt△ABC面积的
3
10
,求b的值;
(3)将△OAC绕原点O逆时针旋转90°后得到△OEF,如图2,再将△OEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M、N、Q分别与点E、F、O对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.

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已知抛物线y=
1
2
x2-mx+2m-
7
2

(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)如图,当抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?

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如图,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线y=-
2
3
x2+
8
3
x
上,B、C在x轴的正半轴上,且矩形始终在抛物线与x轴围成的区域里.
(1)设点A的横坐标为x,试求矩形的周长P关于变量x的函数表达式;
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(3)在上述这些矩形中是否存在这样一个矩形,它的周长为7?若存在,求出该矩形的各顶点的坐标;若不存在,说明理由.

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如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BCx轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.

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1
2

(1)求点D的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)抛物线在x轴上方部分是否存在一点P,使△POA的面积比△POB的面积大4?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由.
(4)将题中的抛物线y=ax2+bx沿x轴平移,当抛物线经过点B时,请直接写出平移的方向和距离.

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