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    如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．
    （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．
    （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
    （3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．
    分析：（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC；
    （2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答；
    （3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．
    解答：
    解：（1）MN=BM+NC，理由如下：
    延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：
    ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
    ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
    又BD=DC，且∠BDC=120°，
    ∴∠DBC=∠DCB=30°，
    ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
    ∴∠MBD=∠ECD=90°，
    在△MBD与△ECD中，
    ∵
    BD=CD
    ∠MBD=∠ECD
    CE=BM
    ，
    ∴△MBD≌△ECD（SAS），
    ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，
    ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
    ∴∠BDM+∠CDN=60°，
    ∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，
    ∴∠EDN=∠MDN，
    在△DMN和△DEN中，
    ∵
    ND=ND
    ∠EDN=∠MDN
    MD=ED
    ，
    ∴△DMN≌△DEN（SAS），
    ∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；

    （2）利用（1）中的结论得出：
    △AMN的周长=AM+MN+AN
    =（AM+BM）+（NC+AN）
    =2+2=4；

    （3）按要求作出图形，如图2所示，
    （1）中结论不成立，应为MN=NC-BM，理由如下：
    在CA上截取CE=BM，
    ∵△ABC是正三角形，
    ∴∠ACB=∠ABC=60°，
    又∵BD=CD，∠BDC=120°，
    ∴∠BCD=∠CBD=30°，
    ∴∠MBD=∠ECD=90°，
    又∵CE=BM，BD=CD，
    在△BMD和△CED中，
    ∵
    CE=BM
    ∠MBD=∠
    BD=CD
    ECD=90°    ，
    ∴△BMD≌△CED（SAS），
    ∴DE=DM，
    在△MDN和△EDN中，
    ∵
    ND=ND
    ∠EDN=∠MDN
    MD=ED
    ，
    ∴△MDN≌△EDN（SAS），
    ∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．就下面给出的三种情况（如图①、②、③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度，并利用图③证明你的结论．
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    （2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD（如图④）、正五边形ABCDE（如图⑤）．正六边形ABCDEF（如图③）、…、正n边形ABCD…X（如图（n）），“点N是射线CA上任意一点”改为点N是射线CD上任意一点，其余条件不变，根据（1）的求解思路，分别推断∠BQM各等于多少度，将结论填入下表：精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察本题的三个图形，思考下列问题
    （1）如图1，正方形ABCD中，点M是CD上异于端点的任意一点，过点C作CN⊥BM于O，且交AD于N点．求证：BM=CN；
    （2）如图2，等边△ABC中，点M是CA上异于端点的任意一点，过点C作射线CN交AB于点N、交BM于点O，且使∠BOC=120°．
    请你判断此时BM与CN的大小关系，并证明你的结论．
    （3）如图3，正n边形ABCDE…An中，点M是CD上异于端点的任意一点，过点C作射线CN交DE于点N、交BM于点O，且使BM=CN．设此时∠BOC的大小为y，请你写出y与n之间的函数关系式．
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    科目：初中数学 来源：2012年江西抚州市崇仁四中初三第二次月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

    问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
    ①如图1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 120°，则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.
    ②如图2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 90°，则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.
    然后运用类比的思想提出了如下的命题：
    ③如图3，O是正五边形ABCDE的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 72°，则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.
    任务要求 
    （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得5分，选②做对的得4分，选③做对的得6分）
    （2）请你继续完成下面的探索：
    如图④，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON等于多少度时，则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一？（不要求证明）
    解：（1）我选           .

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    科目：初中数学 来源：2012年江西抚州市初三第二次月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：

    ①如图1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 120°，则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.

    ②如图2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 90°，则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.

    然后运用类比的思想提出了如下的命题：

    ③如图3，O是正五边形ABCDE的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 72°，则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.

    任务要求 

    （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得5分，选②做对的得4分，选③做对的得6分）

    （2）请你继续完成下面的探索：

    如图④，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON 等于多少度时，则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一？（不要求证明）

    解：（1）我选           .

     

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    科目：初中数学 来源：2007年广东省广州市花都区中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    观察本题的三个图形，思考下列问题
    （1）如图1，正方形ABCD中，点M是CD上异于端点的任意一点，过点C作CN⊥BM于O，且交AD于N点．求证：BM=CN；
    （2）如图2，等边△ABC中，点M是CA上异于端点的任意一点，过点C作射线CN交AB于点N、交BM于点O，且使∠BOC=120°．
    请你判断此时BM与CN的大小关系，并证明你的结论．
    （3）如图3，正n边形ABCDE…An中，点M是CD上异于端点的任意一点，过点C作射线CN交DE于点N、交BM于点O，且使BM=CN．设此时∠BOC的大小为y，请你写出y与n之间的函数关系式．

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