Question

【题目】如图，中， ，以为直径的交边于点，连接，过作的垂线，交边于点，交边的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求劣弧的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2π．

【解析】

（1）根据圆周角定理求出AD⊥BC，得出AD平分∠BAC，即可推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可．
（2）由OD⊥DF得∠ODF=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系OF=2OD，即OB+3=2OD，可解得OD=3，再计算出∠AOD=90°+∠F=120°，然后根据弧长公式求解．

证明：（1）连接OD，

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD过O，
∴EF是⊙O的切线．
（2）∵OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵∠F=30°，
∴OF=2OD，即OB+3=2OD，
而OB=OD，
∴OD=3，
∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，
∴劣弧的长度=＝2π．