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【题目】ABC中,ACBC,∠ACBα,点D是平面内不与点A和点B重合的一点,连接DB,将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE,连接AEBECD

1)如图①,点D与点A在直线BC的两侧,α60°时,的值是  ;直线AE与直线CD相交所成的锐角的度数是  度;

2)如图②,点D与点A在直线BC两侧,α90°时,求的值及直线AE与直线CD相交所成的锐角∠AMC的度数;

3)当α90°,点D在直线AB的上方,SABDSABC,请直接写出当点CDE在同一直线上时,的值.

【答案】1160;(2)∠AMC45°;(3的值为22+

【解析】

(1)延长AE,CD交于点H,根据旋转的性质可知DE=BD,∠BDE=60°,从而可知△BDE,从而可证△ABE≌△CBD,从而可知,再根据角的关系即可求出∠AHB;

(2)先证△ABE∽△CBD,可以得到,∠BAE=∠BCD,继而可以求出∠AMC的度数;

(3)分两种情况讨论即可:①点D,点A在直线BC两侧,②点A,点D在直线BC同侧.

(1)如图1,延长AE,CD交于点H,

∵将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE,

∴DE=BD,∠BDE=60°,

∴△BDE是等边三角形,

∴BD=BE,∠DBE=60°,

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,

∴∠ABE=∠CBD,且BE=BD,AB=BC,

∴△ABE≌△CBD(SAS)

∴AE=CD,∠DCB=∠BAE,

=1,

∵∠BAC+∠ACB=120°,

∴∠BAE+∠CAE+∠ACB=120°,

∴∠CAE+∠ACB+∠BCD=120°

∴∠CAE+ACH=120°,

∴∠AHB=60°,

故答案为:1,60.

(2)∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴AB=BC,∠ABC=45°,

∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,

∴DE=BD,∠BDE=90°,

∴BE=BD,∠DBE=45°,

∴∠DBE=∠ABC,

∴∠ABE=∠CBD,且

∴△ABE∽△CBD,

,∠BAE=∠BCD,

∵∠BAC+∠ACB=135°=∠ACB+∠CAM+∠BAE,

∴∠ACB+∠CAM+∠BCD=∠CAM+∠ACM=135°,

∴∠AMC=45°;

(3)①若点D,点A在直线BC两侧,如图3,分别取AC,BC中点G,H,连接GH,

∴点D在直线GH上,

∵∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC,DE=BD,

∴∠CAB=∠CBA=45°,∠DEB=∠DBE=45°,BE=BD,

∵点G,点H分别是AC,BC的中点,

∴GH∥AB,

∴∠DHB=∠ABC=45°,

∵点C、E、D三点共线,

∴∠CDB=90°,且点H是BC中点,

∴DH=CH=BH,

∴∠HCD=∠HDC,且∠HCD+∠HDC=∠BHD=45°,

∴∠HCD=∠HDC=22.5°,

∵∠BED=∠BCE+∠CBE=45°,

∴∠BCE=∠CBE=22.5°,

∴BE=CE=BD,

∴CD=CE+DE=(+1)BD,

②若点A,点D在直线BC同侧,如图4,分别取AC,BC中点G,H,连接GH,

∴点D在直线GH上,

∵∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC,DE=BD,

∴∠CAB=∠CBA=45°,∠DEB=∠DBE=45°,BE=BD,

∵点G,点H分别是AC,BC的中点,

∴GH∥AB,

∴∠DHC=∠ABC=45°,

∵点C、E、D三点共线,

∴∠CDB=90°,且点H是BC中点,

∴DH=CH=BH,

∴∠HBD=∠HDB,且∠HBD+∠HDB=∠CHD=45°,

∴∠HBD=∠HDB=22.5°,

∵∠ECB=67.5°,∠EBC=∠EBD+∠DBC=67.5°,

∴∠BCE=∠CBE=67.5°,

∴BE=CE=BD,

∴CD=CE﹣DE=(﹣1)BD,

综上所述:的值为

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