Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AD⊥BC，D为垂足，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B落在线段AD上的点B′处，A′B′交AC于E，∠B=75°，那么B′E的长为6-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质得BD=CD，∠B=∠ACB=75°，再根据旋转的性质得CB=CB′，∠A′B′C=∠A′CB′=∠B=75°，A′B′=A′C=AC=6，接着在Rt△CDB′中利用余弦的定义可求出∠DCB′=60°，则可计算出∠ACB′=15°，所以∠A′EC=∠EB′C+∠ECB′=90°，∠A′CE=60°，然后在Rt△A′EC中利用∠A′CE的正弦可计算出A′E=3$\sqrt{3}$，再利用B′E=A′B′-A′E进行计算即可．

解答 解：∵AB=AC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠B=∠ACB=75°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，
∴CB=CB′，∠A′B′C=∠A′CB′=∠B=75°，A′B′=A′C=AC=6，
在Rt△CDB′中，∵cos∠DCB′=$\frac{CD}{CB′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DCB′=60°，
∴∠ACB′=∠ACB-∠DCB′=75°-60°=15°，
∴∠A′EC=∠EB′C+∠ECB′=75°+15°=90°，∠A′CE=75°-15°=60°，
在Rt△A′EC中，∵sin∠A′CE=sin60°=$\frac{A′E}{A′C}$，
∴A′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴B′E=A′B′-A′E=6-3$\sqrt{3}$．
故答案为=6-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形．