Question

若实数a，b满足a+b²=1，则2a²+7b²的最小值是______．

Answer 1

∵a+b²=1，
∴a=1-b²
∴2a²+7b²=2（1-b²）²+7b²=2b⁴+3b²+2=2（b²+

3

4

）²+2-

9

8

=2（b²+

3

4

）²+

7

8

，
∵b²≥0，
∴2（b²+

3

4

）²+

7

8

＞0，
∴当b²=0，即b=0时，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b²=1，
∴b²=1-a，
∴2a²+7b²=2a²+7（1-a）=2a²-7a+7=2（a-

7

4

）²+

7

8

，
∵b²≥0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
∴当a=1，即b=0时，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．