【题目】定义:当点P在射线OA上时,把的的值叫做点P在射线OA上的射影值;当点P不在射线OA上时,把射线OA上与点P最近点的射影值,叫做点P在射线OA上的射影值.
例如:如图1,△OAB三个顶点均在格点上,BP是OA边上的高,则点P和点B在射线OA上的射影值均为=.
(1)在△OAB中,
①点B在射线OA上的射影值小于1时,则△OAB是锐角三角形;
②点B在射线OA上的射影值等于1时,则△OAB是直角三角形;
③点B在射线OA上的射影值大于1时,则△OAB是钝角三角形.
其中真命题有 .
A.①②B.①③C.②③D.①②③
(2)已知:点C是射线OA上一点,CA=OA=1,以〇为圆心,OA为半径画圆,点B是⊙O上任意点.
①如图2,若点B在射线OA上的射影值为.求证:直线BC是⊙O的切线;
②如图3,已知D为线段BC的中点,设点D在射线OA上的射影值为x,点D在射线OB上的射影值为y,直接写出y与x之间的函数关系式为 .
【答案】(1)B;(2)①证明见解析;②y=0(≤x≤)或y=2x﹣(<x≤).
【解析】
(1)根据射影值的定义一一判断即可.
(2)①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似,可得△BOH∽△COB,由相似三角形的性质可得∠BHO=∠CBO=90°,根据切线的判定定理可得答案;
②图形是上下对称的,只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形.分两种情况考虑:当∠DOB<90°时;当∠BOD=90°时.
解:(1)①错误.点B在射线OA上的射影值小于1时,∠OBA可以是钝角,故△OAB不一定是锐角三角形;
②正确.点B在射线OA上的射影值等于1时,AB⊥OA,∠OAB=90°,△OAB是直角三角形;
③正确.点B在射线OA上的射影值大于1时,∠OAB是钝角,故△OAB是钝角三角形;
故答案为:B.
(2)①如图2,作BH⊥OC于点H,
∵点B在射线OA上的射影值为,
∴=,=,CA=OA=OB=1,
∴=,
又∵∠BOH=∠COB,
∴△BOH∽△COB,
∴∠BHO=∠CBO=90°,
∴BC⊥OB,
∴直线BC是⊙O的切线;
②图形是上下对称的,只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形.过点D作DM⊥OC,作DN⊥OB,
当∠DOB<90°时,设DM=h,
∵D为线段BC的中点,
∴S△OBD=S△ODC,
∴OB×DN=OC×DM,
∴DN=2h,
∵在Rt△DON和Rt△DOM中,
OD2=DN2+ON2=DM2+OM2,
∴4h2+y2=h2+x2,
∴3h2=x2﹣y2①,
∵BD2=CD2,
∴4h2+(1﹣y)2=h2+(2﹣x)2②,
①②消去h得:y=2x﹣.
如图,当∠BOD=90°时,过点D作DM⊥OC于点M,
∵D为线段BC的中点,
∴S△OBD=S△ODC,
∴OB×DO=OC×DM,
∵CA=OA=OB=1,
∴OD=2DM,
∴sin∠DOM=,
∴∠DOM=30°,
设DM=h,则OD=2h,OM=h,
∴h2+=1+4h2,
∴h=,
∴OM=,
当点B在OC上时,OD=,
综上所述,当≤x≤时,y=0;当<x≤时,y=2x﹣.
故答案为:y=0(≤x≤)或y=2x﹣(<x≤).
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD交CE于点F.
(1)如图2,当α=45°时,求证:CF=EF;
(2)在旋转过程中,①问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论;②连接CD,当△CDF为等腰直角三角形时,求tan的值.
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【题目】如图,点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,以线段AB为边在第一象限作等边△ABC,,且CA∥y轴.
(1)若点C在反比例函数的图象上,求该反比例函数的解析式;
(2)在(1)中的反比例函数图象上是否存在点N,使四边形ABCN是菱形,若存在请求出点N坐标,若不存在,请说明理由.
(3)点P在第一象限的反比例函数图象上,当四边形OAPB的面积最小时,求出P点坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+b经过点A(﹣1,0),与y轴正半轴交于B点,与反比例函数(x>0)交于点C,且BC=2AB,BD∥x轴交反比例函数(x>0)于点D,连接AD.
(1)求b,k的值;
(2)求△ABD的面积;
(3)若E为线段BC上一点,过点E作EF∥BD,交反比例函数(x>0)于点F,且EF=BD,求点F的坐标.
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【题目】如图1,与都是等腰直角三角形,直角边,在同一条直线上,点、分别是斜边、的中点,点为的中点,连接,,,,.
(1)观察猜想:
图1中,与的数量关系是______,位置关系是______.
(2)探究证明:
将图1中的绕着点顺时针旋转,得到图2,与、分别交于点、,判断的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:
把绕点任意旋转,若,,请直接写出面积的最大值.
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【题目】已知一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1,x2是方程的两个实数根,且满足x12+x1x2=1,求m的值.
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【题目】已知:⊙O的两条弦,相交于点,且.
(1)如图1,连接,求证:.
(2)如图2,在,在上取一点,使得,交于点,连接.
①判断与是否相等,并说明理由.
②若,,求的面积.
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【题目】小明和爸爸从家步行去公园,爸爸先出发一直匀速前行,小明后出发.家到公园的距离为2500 m,如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象.
(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式;
(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇?
(3)在速度都不变的情况下,小明希望比爸爸早20 min到达公园,则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整?
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