Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC=

 

．

Answer 1

分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，即可求得AB与CD的值，又由以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，可得∠DPC=90°或∠CDP=90°，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得PC的值．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB边的中点，
∴CD=BD=

1

2

AB=5，
∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴∠DPC=90°或∠CDP=90°，
（1）若∠DPC=90°，则DP∥AC，
∴

BD

AB

=

BP

BC

=

1

2

，
∴BP=

1

2

BC=4，
则PC=4；
（2）若∠CDP=90°，则△CDP∽△BCA，
∴

CD

BC

=

PC

AB

，
即

5

8

=

PC

10

，
∴PC=

25

4

．
∴PC=4或

25

4

．

点评：此题考查了相似三角形的性质与直角三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用与数形结合思想的应用．