Question

2．如图，在?ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为3：4．

Answer 1

分析 作MH⊥BC于H，设AB=AC=m，则BM=$\frac{1}{3}$m，MH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{6}$m，根据平行四边形的性质求得OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，解直角三角形求得FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，然后根据ASA证得△AOE≌△COF，证得AE=FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，进一步求得OE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，从而求得S_△AOE=$\frac{\sqrt{3}}{24}$m²，作AN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形求得BC=$\sqrt{3}$m，进而求得BF=BC-FC=$\sqrt{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m，分别求得△AOE与△BMF的面积，即可求得结论．

解答 解：设AB=AC=m，则BM=$\frac{1}{3}$m，
∵O是两条对角线的交点，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，
∵∠B=30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB=$\frac{OC}{FC}$，即cos30°=$\frac{\frac{1}{2}m}{FC}$，
∴FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC=∠FCA，
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∴OE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}m$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$m=$\frac{\sqrt{3}}{24}$m²，
作AN⊥BC于N，
∵AB=AC，
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC，
∵BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴BC=$\sqrt{3}$m，
∴BF=BC-FC=$\sqrt{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B=30°，
∴MH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{6}$m，
∴S_△BMF=$\frac{1}{2}$BF•MH=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m×$\frac{1}{6}$m=$\frac{\sqrt{3}}{18}$m²，
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△BMF}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{24}{m}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{18}{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为3：4．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．