问题提出:以n边形的n个顶点和它内部的m个点.共(m+n)个点作为顶点.可把原n边形分割成多少个互不重叠的小二角形?问题探究:为了解决上面的问题.我们将采取一般问题特殊化的策略.先从特殊的情形入手:探究一:以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P.共4个点为顶点.可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形?如图①.显然.此时可把△ABC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

6．问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小二角形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从特殊的情形入手：
探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以△A BC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点9在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③，显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以△ABC的二个顶点和它内部、的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成7个互不重叠的小二角形．
探究四：以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m-1）或2m+1个互不重叠的小三角形．
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m-1）个互不重叠的小三角形．
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m-1）个互不重叠的小三角形．
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）

分析探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可；
探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可；
探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；
问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解；
实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解．

解答解：探究三：如图，三角形内部的三点共线与不共线时都分成了7部分，
分割示意图（答案不唯一）；

探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1-1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），
…，
所以，三角形内部有m个点时，3+2（m-1）或2m+1；

探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m-1）或2m+2；
问题解决：n+2（m-1）或2m+n-2；

实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得
2m+n-2
=2×2012+8-2
=4024+8-2
=4030．

点评本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

16．下列各式计算正确的是（　　）

	A．	$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=2+3		B．	3$\sqrt{2}$+5$\sqrt{3}$=8$\sqrt{6}$
	C．	$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=$\sqrt{15+12}$×$\sqrt{15-12}$		D．	$\sqrt{4\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}}$

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

17．$\frac{1-2+3-4+…+19-20}{-2+4-6+8-…-38+40}$等于（　　）

A．

$\frac{1}{4}$

B．

-$\frac{1}{4}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

-$\frac{1}{2}$

查看答案和解析>>